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r(A)=n-1为什么r(A)=1

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当r(A)为n阶矩阵,r(A)=n-1 。从AA的伴随矩阵=|A|E为什么可以推出r(A)+r(A的伴随矩阵)小于等于n , A^n中的n与n的阶数n一致,例:A3×3阵:r(A^3)=r(A^4) , (2)中为什么A的n-1阶子式不等于0,A*就不等于0,R(A*)就大于等于1?
还有,请问什么情况下A*=0,A*=0与|A*|=0是一个意思吗? , 如图:
前两行忽略,从第3行开始哈
他已经给出对于|A|≠0时的证明,就不用麻烦了
但是对于|A|=0这种情况,如何证明该等式成立呢??
好像要用矩阵秩的概念
麻烦看一下吧 只要证明|A|=0...

当r(A)为n阶矩阵,r(A)=n-1 。从AA的伴随矩阵=|A|E: P(x,y) = (x^2-y) , 偏P/偏y = -1
Q(x,y) = -(x+(siny)^2) , 偏Q/偏x = -1
偏Q/偏x - 偏P/偏y = (-1) - (-1) = 0
由格林公式, 知,
原式 = (L1)∫l(x^2-y)dx-(x+(siny)^2)dy,
其中 L1 : A(0,0) --> B(1,0) ---> C(0,1)
原式 = (0,1)∫l(x^2-0)dx - (0,1)∫[1+(siny)^2]dy
= 1/3 - (0,1)∫[3/2 - (1/2)* cos(2y)]dy
= 1/3 - (0,1)∫[3/2 - (1/2)* cos(2y)]dy
= - 7/6 + (1/4)*sin2

为什么r(A)=1能推出A的特征值为λ1=λ2=0,λ3=α^tα=2: 首先,E(n阶)的特征值只有1且任意n个线性无关的列向量都是E的特征向量。设A的一个特征值为λ,属于它的A的特征向量为α,则Aα=λα,所以(E-A)α=Eα-Aα=1α+λα=(1+λ)α,即1+λ是E+A的特征值。
补充:E的特征值只能是1这个很好证明,直接写出特征多项式|λE-E|=(λ-1)^n,它的根只有1;而λE-E得到的0矩阵,因此任意向量都是方程(λE-E)X=0的解,所以只需使它们线性无关即可。

A为n阶方阵,证明 r(A^n)=r(A^(n+1)): 证明A^(n+1)·x=0和A^n·x=0同解:
如果A非奇异则显然成立,否则利用
n-1 >= rank(A) >= rank(A^2) >= ... >= rank(A^n) >= rank(A^(n+1)) >=0
中间一定有两个相邻的项相等,即A^k·x=0和A^(k+1)·x=0同解,
从而A^(n+1)·x=0和A^n·x=0同解。

从A^k x=0和A^(k+1)x=0同解 => A^{n+1}x=0和A^n x=0同解 我没仔细想是怎么做的
印象中具体证的时候应该是分两步,1、A^n·x=b的解是A^(n+1)·x=Ab的解,这显然成立;
2、A^(n+1)·x=Ab的解是A^n·x=b的解,这一步我不记得了,不过文登考研题复习资料上有的。
刚找到一个pdf文件上面的例5,自己看吧。
http://course.shufe.edu.cn/jpkc/jcjx/gdds/jcfdPDF/jc06.pdf参考资料:http://zhidao.baidu.com/question/152454037.html

求矩阵A与A*的秩的关系中,为什么A的n-1阶子式不等于0,A*就不等于0,R(A*)就大于等于1: A*是由A的所有n-1阶子式构成的矩阵,该矩阵一个元素可以看作是A的一个子式。而零阵O是所有元素均为0的矩阵。若矩阵A有一个子式不为0,就不满足零阵的条件。故A*不是零阵O,当然也就有r(A*)>0.
A*是一个矩阵,而|A*|是一个行列式,行列式是一个值为常数的表达式。当然矩阵不等于数。
另外,同学你的写法是错的。应该是A*=O,|A*|=0。O是矩阵,0是数。

关于n阶行列式:|A*|=|A|^(n-1)的证明: 当R(A)<n-1时,则A中所有n-1阶子式全为0,
即A*中所有元素均为0
A*=0
|A*|=0
所以可以说|A*|=|A|^(n-1)

当R(A)=n-1时,A中至少有一个n-1阶子式不等于0
所以A*≠0,那么R(A*)≥1
又因为AA*=|A|E=0
那么R(A)+R(A*)≤n
R(A*)≤1
所以R(A*)=1
因为A*不是满秩矩阵,所以|A*|=0
|A*|=|A|^(n-1)

单根特征值为什么不能有两个线性无关的特征向量?: 如果λ是单根, 则不可能有 n-r(A-λE)>1

定理: k重特征值最多有k个线性无关的特征向量

某个数列的同项公式是An=(4/5)^n乘n(n+1)..寻找最大值的一项,为什么只需证明Tn大于等于Tn-1和Tn+1: 数列
本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个问题:(1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个数列的前 项和 ,则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .(2)数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算,是高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标. ①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.
②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 及 ;已知 求 时,也要进行分类;
③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整
体思想求解.
(4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.
一、基本概念:
1、 数列的定义及表示方法:
2、 数列的项与项数:
3、 有穷数列与无穷数列:
4、 递增(减)、摆动、循环数列:
5、 数列{an}的通项公式an:
6、 数列的前n项和公式Sn:
7、 等差数列、公差d、等差数列的结构:
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构:
二、基本公式:
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=
10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。
11、等差数列的前n项和公式:Sn= Sn= Sn=
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
13、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
当q≠1时,Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
15、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
16、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an bn}、 、 仍为等比数列。
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq;
四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
24、{an}为等差数列,则 (c0)是等比数列。
25、{bn}(bn0)是等比数列,则{logcbn} (c0且c 1) 是等差数列。
26. 在等差数列 中:
(1)若项数为 ,则
(2)若数为 则, ,
27. 在等比数列 中:
(1) 若项数为 ,则
(2)若数为 则,
四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
28、分组法求数列的和:如an=2n+3n
29、错位相减法求和:如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和:如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和:如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法:
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:
(1)当 0,d0时,满足 的项数m使得 取最大值.
(2)当 0,d0时,满足 的项数m使得 取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
基本数列是等差数列和等比数列
一、等差数列
一个等差数列由两个因素确定:首项a1和公差d.
得知以下任何一项,就可以确定一个等差数列(即求出数列的通项公式):
1、首项a1和公差d
2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意两项a(n)和a(m),n,m为已知数
等差数列的性质:
1、前N项和为N的二次函数(d不为0时)
2、a(m)-a(n)=(m-n)*d
3、正整数m、n、p为等差数列时,a(m)、a(n)、a(p)也是等差数列
二、等比数列
一个等比数列由两个因素确定:首项a1和公差d.
得知以下任何一项,就可以确定一个等比数列(即求出数列的通项公式):
1、首项a1和公比r
2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意两项a(n)和a(m),n,m为已知数
等比数列的性质:
1、a(m)/a(n)=r^(m-n)
2、正整数m、n、p为等差数列时,a(m)、a(n)、a(p)是等比数列
3、等比数列的连续m项和也是等比数列
即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)构成的数列是等比数列。
三、数列的前N项和与逐项差
1、如果数列的通项公式是关于N的多项式,最高次数为P,则数列的前N项和是关于N的多项式,最高次数为P+1。
(这与积分很相似)
2、逐项差就是数列相邻两项的差组成的数列。
如果数列的通项公式是关于N的多项式,最高次数为P,则数列的逐项差的通项公式是关于N的多项式,最高次数为P-1。
(这与微分很相似)
等比数列的逐项差还是等比数列
四、已知数列通项公式A(N),求数列的前N项和S(N)。
这个问题等价于求S(N)的通项公式,而S(N)=S(N-1)+A(N),这就成为递推数列的问题。
解法是寻找一个数列B(N),
使S(N)+B(N)=S(N-1)+B(N-1)
从而S(N)=A(1)+B(1)-B(N)
猜想B(N)的方法:把A(N)当作函数求积分,对得出的函数形式设待定系数,利用B(N)-B(N-1)=-A(N)求出待定系数

关于笔算的问题: 徒手开n次方根的方法:
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求 2301781.9823406 的5次方根:
第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:a=18,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
说明:这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
.............................
最后结果为:18.724......

http://zhidao.baidu.com/question/8563091.html

论三角函数的笔解方法
三角数学发展到今天,已经达到相当完美的程度,但它却并不完善,
是因为在解题时须通过查表或计算器才能完成,试想,在生活中,我们随
时随地都有可能去计算一个数据,但我们不可能随时随地都带着函数表或
计算器,没了它们怎么办呢?这人问题不容忽视,它的解决在三角数学领
域里应该占有举足轻重的地位。
那么,三角函数有没有笔算可以解决的方法呢?问必有答,大家不妨
先来看看下面的方法如何。
正弦和余弦的精确计算
方法一
我们知道y=sin x 是三角函数的关系表达式之一,但是从这个表达式
我们并不能看出y和x之间到底是怎样一种关系,因此要想从等式的一
边得到另一边就必须先搞清它们之间的关系。
那么,如何寻找这种关系呢?若想寻找到两者之间关系,就应该先
对两者有着清楚深刻地认识,让我们先来认识一下y,即正弦,说到正弦,
我们不禁会联想到正弦定理: a/sina=b/sinb=c/sinc=2R,
通过变形可得到a/(2R)=sina,b/(2R)=sinb,c/(2R)=sinc 又因sin x=cos(90º-x),
由此可知正、余弦的意义实际上是在圆中圆周角所对的弦与直径的比。让
我们再来认识一下 X ,即角度,提到角度,我们不禁会联想到计算弧长
的公式L=(nπr)/180º,通过变形可得到n=180ºL/(πr)=360º×L/(2πr)由
此可知角度的意义实际上是在圆中一角所对弧与圆周长的比。
通过对x、y的认识,我们便可发现x、y的关系实际上是弦与弧的关
系,那么怎样从弦中得到弧,或相反呢?让我们看看下面的方法如何。
当我们知道了一角的正弦值,即sin X时,通过半角公式
Sin(x/2=[(1-cosx)/2]-2,我们就可得到半角sin(x/2)的值,同样也可得到sin(x/22) sin(x/23 )、... sin (x/2 a ),如此一来弦和与弧长就会十分接近,假如所求得的极值为sin(x/n)(设2 a=m),那么弧长即为n Sin(x/m),如此就可得到Y与X的关系,
Y=sinm( ), (m∈N,且m→+∞)
X=180 º×m×sin(m-1y)(m∈N,且m→+∞)

同时也达到了从等式的一边求另一边的目的。
从上面的方法可以看出。利用Y与X的关系可以笔解,但由于求倍角值和分角值的运算比较复杂,给笔算求值带来很大不便,不宜笔算。
那有没有一种适宜的笔算方法呢?让我们再来看看下面的方法如何。
方法二
众 所 周 知,在 数 学 里 有 一 个 重 要 的 公 式:
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB。从这个公式里我们可以看出每个函数值之间都有存在着一定的联系,那么这个联系是什么呢?通过这个联系能否找到笔算解决的办法呢?归根结蒂这个联系就是上面的公式,因为通过此公式可以从一个函数值推出其它三角函数值,也就是所谓的另种笔算解法。
经上面介绍,大家大概可以明白这个解法是利用所推出公式来计算的,但是不是要推出并记住所有的公式呢?大可不必,只需9个就可以了,
即:C2=2C2-1 C3=C(4C2-3) C4=8C2(C2-1)+1
C5=C(16C4-20C2+5) C6= 2C2(4C2-3)2-1
C7=(1+C)(8C3-4C2-4C+1)2-1 C8=2(8C4-8C2+1)2-1

C9=C(4C2-3)[ 4C2-3]2-3] C10=2C2(164-20C2+5)2-1
(注:C=cosA,C2=cos2A……C10=cos10A)
另外再记住1 º,1′角的余弦值就可以使用了,
即:cos1 º=0.99984769516 cos1′=0.999999957692807
例如:求cos76 º的值?
解:1,通过1 º的余弦值利用C6,C7公式求出6 º,7º的余弦值。
2,把7º角余弦值代入公式求出70º角的余弦的值。
3,通过cos(A+B)的公式把70º角的余弦值和6 º的余弦值相加,即:cos76 º
的值。
若求正弦,正切,余切的值可通过以下公式:
sinA= cos(90 º-A),sinA(1- cos2A)-2,taA= sinA/ cosA,ctg= cosA / sinA
可以看出,使用这种方法可以求解,但需要太多的公式,且公式中有许多二次,三次,四次方运算,计算的数值也多有重复,运算过程过于繁杂等等,若想来方便的利用它,只有把这些公式编成程序办入到计算机中使用了,那么如何利用它在笔算中简便的使用呢?
正弦和余弦的实际应用计算
方法一
我们知道在用以上公式所求的角度值中,有一些角的计算是常用的,我们称它为基本角,如果能将其直接记住,那么计算时就可大为简便,根据需要,把下面数值都精确到四位小数,它们是:
sinN′=N×2.909×10-4(0′≤N≤300′)
cos1′--- cos35′=1.0000 cos36′--- cos59′=0.9999

-sin1º=0.0175 sin2º=0.0349 sin3º=0.0523 sin4º=0.0698 sin5º=0.0872
sin6º=0.1045 sin7º=0.1219 sin8º=0.1392 sin9º=0.1564 sin10º=0.1736
sin20º=0.3420 sin30º=0.5000 sin40º=0.6428 sin50º=0.7660 sin60º=0.8660
sin70º=0.9397 sin80º=0.9848
例:求sin33º33′=?(注:有些数字仍需开平方,大家不妨学一下笔算开平方的方法,具体解法请参考初二代数157页)
解:sin33º= sin(30º+3ˋ).
=0.5×(1-0.0523²)-²+0.8660×0.0523=0.5446
sin33º= sin(30º+33ˋ).
=0.5446+(1-0.5446²)-²×33×2.909×10-4=0.5526
可以看出,这种方法基本上达到了笔算要求,运算相对也比较简便,
但它的完整运算步骤要两个,其中还要平方、开方,仍有些不便。
方法二
如何才能更简便呢?若要解决这个问题,需要在记忆上多下此功夫---
多记一些基本角,即在我们所知道的sin1ˋ---sin1º,cos1ˋ---cos59ˋ等基本角的基础上再记住sin1º---sin189º之间的基本角,这样运算可十分简便,仅需要一个步骤就可解决,且不需要任何平方,开方,如求---sin55º55ˋ的值?
解: sin55º55ˋ=sin(55º+55ˋ)=0.8192×0.9999+55×2.909×10-4×0.5736
=0.8283
当然,有利也有弊,记八九十个是不少,但它并未超出我们的能力,
就像学习乘法运算需要记数十个乘法口决,学习计算机五笔打字需要记几
百个字根一样,这是我们学习知识的基础,是必不可少的。
由角度可求出相应的函数值,那么由函数值如何求相应的角度呢?
例如:求Sinx=0.7859,
解:1.找出基本角中与0.7859较接近的数值(Sin51 º)
2.把此角代入Sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB中求出值及相应的角度:
Sin(A-51 º)=0.7589×0.6293-(1-0.78592)-2×0.7771
=0.014
同时计算出这个角度:0.014÷2.909÷10-4≈48ˋ;
3.将所有角度与余角相加,即正弦值0.7859的角度:51 º+48ˋ=51º48ˋ。
可将以上步骤总结为一个公式:
X=(SinA- SinB)/(2.909×10-4)+B,[( SinA- SinB)≤300ˋ]
方法三
纵观以上方法,都是从笔算的解题,间接表明角度与三角函数值之间的关系,那么有没有一种非计算解题,又能直接表明角度与三角函数之间关系的方法呢?让我们来看一种作图查表的方法怎么样?

由上表我们可能看出通过它既可解题,又能直接表明其间的关系,

且制作原理和方法简单,根据我们解题的需要可将它制作得尽量精密。
可能你对以上的方法都不感到满意,但如果你的计算范围是在万分
之一精确度,那么以下的方法也许会能满足你的要求。
方法四
从上一种方法的图表中我们可以看出,三角函数值在一定范围内(如
在1度之间)的变化率不大,也就是说在一定范围内它们还存在着一定的
正比对应关系,如果我们能将这范围内的变化率掌握,那么整个三角函数
值便很容易算出,即:
sin4º=0.0698 sin6º=0.1045 sin8º=0.1392 sin11º=0.1908 sin13º=0.2250
sin15º=0.2588 sin17º=0.2924 sin19º=0.3256 sin21º=0.3584 sin23º=0.3907
sin25º=0.4226 sin26º=0.4384 sin28º=0.4695 sin30º=0.5000 sin32º=0.5299
sin34º=0.5592 sin35º=0.5736 sin36º=0.5878 sin38º=0.6157 sin40º=0.6428
sin41º=0.6561 sin43º=0.6820 sin44º=0.6947 sin45º=0.7071
只要将以上基本角的正弦值记住便很容易计算出任何一个角度的
余弦值,例:求Sin25º25ˋ=?
1. 从我们所记的基本角中找出Sin25º25ˋ所处的位置,设这个角为SinAB
(A=25º25ˋ)可发现此角处在我们已知的基本角中的26度与25度之
间,设这两个角分别是角B,角C,B=26º C=25º;
2. 将此角代入以下关系式计算:
SinA= SinC+(SinB-SinC)×[(A-C)÷(B-C)]
如:Sin25º25ˋ= Sin25º+(Sin26º-Sin25º)×(25÷60)
=0.4226+(0.4383-0.4226)×0.417
=0.4292

下面让我们来看看如何求解角度:arcsin0.2222=?
1. 同样,先找出0.2222处在我所记的基本角中的位置,设这个值为A,可发现A处在sinA,可发现A处在sin11 º和sin13 º之间,设这两个分别为角B,角C,B=11 ºC=13 º;
2. 将此值代入以下关系式计算:
arcsinA=B+(A-sinB)÷(sinC- sinB)×(C-B)
如:arcsin0.2222=11º+(0.2222- sin11º) ÷(sin13º- sin11º) ×(13º-11º)
=11º+(0.2222-0.1938) ÷(0.2250-0.1908) ×2 º
≈12.84 º
对于求大于45度(arcsin0.7071)的正弦函数或求余弦函数可根据以下几种方法解决:
①:开方法
如求sin60 º30ˋ=?
1:将此角转变成sin45 º以内的角来求:
sin60 º30ˋ=cos29 º30ˋ=(1- sin229 º30ˋ)-2
2.如求sinA=0.8888,同样将它转变为sin45 º以内的值再求:
arcsin0.8888=90º- arcsin(1-0.88882)-2
②倍乘法
如求sin60 º30ˋ=?
1:利用sina=cos[2×(45º- )]=1-2sin2(45º- )将其转变为sin45º以
内的角来求:
sin60 º30ˋ= cos[2×(45º-30º15ˋ)]=1-2sin2(45º-30º15ˋ)

2:如:求Sinx=0.7859,
arcsina=arccos(51º-a)=90º-1arccosN(90º-a)将其转变为sin45º以内
的角来求
arcsin0.8888=arccos0.8888=90º-1 arcsin(2×0.88882-1)
③ :综合法
1. 如求如求sin60 º30ˋ=?
①用倍乘法解决 :
利用sina=cos[2×(45º- )]=1-sin2(45º- )将其转变为sin45º以内的
角来求:
sin60 º30ˋ= cos[2×(45º-30º15ˋ)]=1-2sin2(45º-30º15ˋ)
② :利用cosa=sina/ tga
sin60º30ˋ= cos29º30ˋ=sin29º30ˋ/tg29º30ˋ
可以看出这时我们须先将sin29º30ˋ和tg29º30ˋ的值求出,
sin29º30ˋ的值我们可以根据前面的介绍的方法求出,有关tg29º30ˋ
的值求法请看下面的正切余切的求法!
2:如求SinA=0.8888
①:用倍乘法解决:
利用arcsina=arccos(90º-a)= 90º- arccosN(90º-a)将其转变成sin45º
以内的角来求
arcsin=0.8888= arccos0.8888=90º- arccos(2×0.8888²-1)
②:利用特别开方法将其转变成sin45º以内的角来求

设: a+2b=90º, 则Sina=cos2b=1-2sin²b
arcsina=90º-2arcsinb
=90º-2arcsin[0.5×(1-sinb)] -2
因此: arcsin0.8888=90º-2 arcsin[0.5×(1-0.8888)] -2
可以看出,通过上面的开方法不用平方而可以直接开方,计算简单了
很多!
方法五
以上方法具有总记忆少,容易学,但时有开平方,如果您为了使计算更
加简便,最好学一下多记少算的这种方法:在掌握前45度角中的23个的
基础上再记住以下50个: 除46º、48º、56º、58º、外,46º—90º之间的每
个自然角度的正弦值都要牢记,此外还须将76.5º、77.5º、78.5º、79.5º、
80.5º、83.5º、84.5º、88.5º、89.25º的正弦值记住即可,其计算方法与前
45度中的角相同。
大家知道,其实只要我们知道了正弦和余弦的值,正切和余切值就可
以计算出来,为什么还要研究正切和余切的计算呢?其原因有二,其一是
利用正弦余弦来计算正切余切的值比较麻烦,不简便;其二是利用正余弦
无法计算反正切和反余切的值;所以我们要研究正切和余切的计算下面就
让我们来看看如何进行正切和余切的计算。
正切和余切的精确计算
其实正切和余切的精确计算和正余弦的精确计算原理差不多,都需要
先求出正切的极值,然后利用倍角公式进行求值,又因为正切的极值与正
弦的极值十分接近它的求法也可用到正弦的计算方式,即:

sina=tga(a→0),然后通过正切的倍角公式如: tg2a=(2tga)/(1-2tg²a)求出
所要求的数值,而要求反正切.余切的值需要通t¬g(a-b)=(tga-t¬gb)/(1+tgat¬gb)
逐角想减,然后将相减的角再相加便可! 大家可能会感到正切余切的精确
计算不实用, 是的, 这些都需要计算机来完成才行, 而我们只需要知道其
计算原理便可, 下面让我们来看看正余切的实际应用的计算方法。
正切和余切的实际应用计算
受到正余弦实际应用计算方法的启示,正余切的计算也是一样的,我
们同样需要先记住以下基本角的正切值,它们是:
tg4º=0.0699 tg8º=0.1405 tg11º=0.1944 tg14º=0.2493 tg16º=0.2493
tg18º=0.3249 tg20º=0.3640 tg22º=0.4040 tg24º=0.4452 tg26º=0.4877
tg28º=0.5317 tg29º=0.5543 tg30º=0.5574 tg31º=0.6009 tg32º=0.6249
tg33º=0.6494 tg34º=0.6745 tg35º=0.7002 tg36º=0.7265 tg37º=0.7536
tg38º=0.7813 tg39º=0.8098 tg40º=0.8391 tg41º=0.8693 tg42º=0.9004
tg43º=0.9325 tg44º =0.9657 tg40º=1.0000
其计算方法也和正余弦一样,只是有±0.0001的误差,如求tg25º25ˋ=?
1. 从我们所记的基本角中找出tg25º25ˋ所处的位置,设这个角为tgA
设这两个角分别是角C,角D,C=26º,D=24º;
2.将此角代入以上公式计算:
tgA= tgA+(tgC-tgD)×[(A-D)÷(C-D)]
如: tg25º25ˋ=tg24º+(tg26º-tg24º)×[(25º25ˋ-24º)÷(26º-24º)]
=0.4452+(0.4877-0.4452)×0.7085
=0.4753

反正切的求法与反正弦的也一样,如求arctg0.2222=?
1. 同样,先找出0.2222处在我所记的基本角中的位置,设这个值为 A,
可发现 A 处在tg11º和tg14º之间,设这两个角分别为角 B,角 C ,
B=11º,C=14º;
2.将此值代入以下公式计算:
arctgA=B+(A-tgB)÷(tgC- tgB)×(C-B)
如: arctg0.2222=11º+(0.2222-tg11º)÷(tg14º—tg11º)×(14º-11º)
=11º+(0.2222-0.1944)÷(0.2493-0.1944)×3º
=12.25º
而tg45º-tg90º之间的角度计算只需要通过tga×ctga=1来转变计算就可以
了,如:tg60º30ˋ=?
将其代入这个关系式就可以了:tga=ctg(90º-a)=1/tg(90º-a)
tg60º30ˋ= 1/tg(90º-60º30ˋ)=1/tg29º30ˋ 同样反正切的计算也可以这样转换,如求:arctg3.3333=?
将其代入这个关系式就可以了: arctgA=90º-arctg(1/A)
arctgA=90º-arctg(1/3.3333)
可以看出,正切余切的实际应用计算比正余弦的计算要简单,很适合
我们的笔算要求,希望大家可以采纳!
从以上多种计算方法的论述和实例中可以看出,三角函数完全具备笔
算的可能,虽然解法不尽完美,但基本上解决了笔解三角函数的难题,达
到了笔解的基本要求,不失为一种方法,大家不妨采用一试。
因本人学识浅薄,有疏误之处请大家多多指点,批评!

附 论
在正余弦精确计算中的第一种方法各即:

Y=sinm( ), (m∈N,且m→+∞)
X=180 º×m×sin(m-1y)(m∈N,且m→+∞)

和第2种方法9个公式的计算求解中,
必须先得到一个极值才能顺利的解题,但如果按照常规的计算,要得到一个极值是需要一项繁杂的计算过程,使解题的实际应用困难重重,因此需要找到一种简便的求解极值的方法。下面就上我们来共同研究一下求解极值的简便方法:在圆中,已知一个角度a和半径长(设半径长为1),我们便很容易通过计算得这个角a所对的弦长b和弦长c的比值,即:(180º/sina)( aπ)=b/c,当这个角度a无限的变小时,那么这个比值b/c就会无限的接近1的比值,即通过:sina=πa/180º便可求出,如果用弧度制来表示即为:sina=aˋ(a∈弧度, a→0,aˋ=a/1弧度)
可以看出我们只要将角度制化为弧度制就可以了,十分简单;同样,在通过求解这个角的正弦近似值我们还可以很容易求出圆周率π的近似值。
如此一来,我们便得到了一个重要的公式:
180º/a sina=π(a→0),只要知道圆周率的值,我们便可以很容易得到一个尽可能小的三角函数的值,相反,只要知道一个尽可能小的的三角函数值sinA,我们便可以很容易得到圆周率的近似值,它揭示了三角函数与圆周率之间的奥密!

里面一些公式、图形可能在粘贴中不全,完整的请参考下面的链接。http://www.blog.edu.cn/UploadFiles/2007-8/814580305.doc

分数给我吧,先谢了!

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